「巨大突破」：不平衡数学的重要进展
把 12 个跃跃欲试的智力竞赛爱好者分成两个对抗队伍，并不需要数学博士学位。但想一想：每个人带来的长处和短板都不一样——一个是只痴迷地理的音乐盲，一个是家里没电视的博物学家，还有一个是从不读书的影迷。要让两队的特质处处均衡，难度就大得多了。
那么，你能把队伍分得多均匀？从希腊神话到大学篮球，每个类别都要火力相当。
研究组合差异理论（combinatorial discrepancy theory）的研究者给出的答案是：总能分得出人意料的均匀。
差异理论是数学的一个分支，研究如何尽可能均匀地分配资源。如果一个智力竞赛队独占了全部历史知识，一点不留给对手，那就是一个很大的"差异"（discrepancy）。
上世纪八十年代初，数学家 János Komlós 提出了一个反直觉的预测。他猜想：无论你考虑多少个对象（你的队员）或多少个维度（竞赛类别），可以量化的差异都不会超过一个常数。总有一种分法能让差异低于这个精确的界限。
"这实在令人震惊，"芝加哥大学理论计算机科学家姜昊天（Haotian Jiang）说。"Komlós 猜想断言它与问题的维度无关。这是一个普适常数。"
从来没有人找到反驳这一猜想的办法。但它实在太惊人了，以至于一些数学家认为它必定是错的。证明它是"差异理论中的圣杯问题之一"，密歇根大学理论计算机科学家 Nikhil Bansal 说。
连猜想提出者本人都觉得它有点荒谬。"我提出来的时候年轻又鲁莽，"如今已退休的 Komlós 在邮件里打趣道，"我用这个不负责任的猜想给组合差异理论扔了一把扳手。"
如果 Komlós 猜想为真，它可能解锁许多其他问题的答案——既包括差异理论内部的，也包括运筹学等领域的。
但几十年来，证明看起来希望渺茫。数学家们进展甚微；他们最好的差异上界是 1998 年得到的，仍然强烈依赖于问题维度，远非常数。
然后，在 2025 年秋，Bansal 和姜昊天宣布了这个问题近 30 年来的第一个重大进展。他们找到了一个随维度变化极其缓慢的界限——即使维度达到天文数字，它也离常数只有一步之遥。其他研究者用"非常令人兴奋"、"一个漂亮的结果"、"巨大的进步"来形容这项采用了全新算法思路的工作。
虽然这个出乎意料的发现并未彻底解决问题，但它提供了迄今为止最有力的证据：Komlós 的猜想终究不那么"不负责任"。"我以前倾向于认为这个猜想是错的，"多伦多大学计算机科学家 Aleksandar Nikolov 说。这项新工作"现在让我相当有信心：这个猜想很可能真的是对的。"
Bansal 和姜昊天的解法展示了如何把复杂得无法想象的系统驯服成更简单、更易研究的东西——其洞见在数学、物理乃至机器学习领域都有潜在应用。
分而治之
像 Komlós 猜想这样的差异问题，处理的是把一组对象拆成两个子集。你可以想象把人分成智力竞赛队、把二手车分成几批、或者把临床试验参与者分成治疗组和安慰剂组。
Komlós 猜想把每个人（或对象）想象成一个长度为 1 的箭头，即单位向量。这个向量由一列坐标定义，每个坐标衡量该人在某个特定属性上的多少。
假设你只关心两个知识领域：书籍和电影。你可以这样想象每个人对应的向量……
（图：Mark Belan, Samuel Velasco/Quanta Magazine）
现在给每个向量分配队伍。如果你把向量分给 A 队，它的坐标保持不变；分给 B 队，则每个坐标乘以 −1（相当于把向量掉头）。
如果你能做出完美切分——两队在每个类别上的知识量完全相等——那么所有这些向量加起来应该等于零。完美的和谐。
但完美通常不可能。于是问题变成：你能多接近零？
在我们那个四人例子里，穷举所有方案很容易。你会发现 Alice 和 Bob 应该一队，Carla 和 Dave 另一队。（注意，两队人数不必相同：你要做的只是把向量分开，按需要把若干个乘以 −1，让它们互相抵消。）
当向量和属性更多时，这个任务会难得多。然而 Komlós 有一个格外乐观的假设：无论考虑多少向量或属性，总有办法把它们切开，使总和落在同一个普适常数以下。
在实践中，这个假设看起来远非显然。考虑一个朴素策略：随机分配。随着向量数 N 增大，这样得到的差异会飙升。1985 年，Joel Spencer 找到了更好的界，把差异压到 N 的对数以下；1998 年，Wojciech Banaszczyk 把界改进到 √log(N)。这些都是有意义的进步，但不平衡量仍随向量数增长。Komlós 的常数似乎遥不可及。
就在这时，计算机科学家开始介入。
转折
2000 年代末，差异问题开始吸引理论计算机科学家的注意。Bansal 就是其中之一。他希望通过写下一系列逻辑步骤——一个算法——来推进 Komlós 问题，理论上计算机可以执行这些步骤。
许多研究者认为这样的算法根本不存在；他们说，计算这个问题的精确解是不可能的。但 Bansal 当时并不知道这一点。他觉得自己的无知是一种福分。"否则我不敢违背那种共识。"
2010 年，他想出了一个算法的思路。他先把每个向量对半分。比如 Alice 的向量是 ⟨1, 0⟩，他就把 ⟨½, 0⟩ 分给 A 队、⟨½, 0⟩ 分给 B 队。"我可以把一个人切成两半，"Bansal 说。然后用一个随机过程逐步调整每个半向量，最终让一队完整地得到原来的 ⟨1, 0⟩。整个过程中，他确保差异不会在任何一步膨胀太多。
他证明了这个算法若在计算机上实现，能以不超过 log(N) 的界限分割向量——与 Spencer 的结果持平。"之前甚至没人觉得这有可能，"加州大学洛杉矶分校研究差异算法的计算机科学家 Raghu Meka 说。"那完全超出了固有思维。"
2016 年，Bansal 调整算法使其达到 Banaszczyk 的 √log(N) 界——当时的最高纪录。
这项工作启发其他研究者以全新的方式思考差异问题。"它也为一个人们几乎毫无办法的问题提供了新方法，"Meka 说。
不过，"作为计算机科学家，我们是在追赶那些聪明的数学家早已证明的结果，"Bansal 说。他现在想知道能否把这个新方法推得更远——不只是追平旧纪录，而是创造新纪录。
相依之因
2019 年，Bansal 在一次会议上遇到了当时还在华盛顿大学读研究生的姜昊天。两位计算机科学家因对差异算法的共同兴趣结缘。几年后，他们与 Meka 及另外两位研究者一起证明了 Komlós 猜想在特定条件下成立。Bansal 和姜昊天合作愉快，决定继续联手攻克完整的猜想。
"[我们]配合很默契，"Bansal 说，"我可以朝他丢半成品想法，他能接住。他也可以对我做同样的事。"
2025 年 2 月，姜昊天到安娜堡拜访 Bansal 一周。第二天，他们就找到了如何压低那个顽固上界的线索。
在此前的算法里，他们关注的是约束随时间不可避免累积的差异。这一次，他们加入了额外的限制。
差异天然同时依赖多个维度。设想两家车行分一批新车：如果两边车的颜色数量相同，但一家分到的敞篷车更多，那么之后想在不破坏颜色平衡的前提下拉平敞篷车数量就很棘手。你没法把差异的影响局限在任何一个维度上。"它们真的高度纠缠在一起，"Bansal 说。
他和姜昊天想尝试找出一种隐藏的独立性。"刚碰出这个想法时感觉它很疯狂，"他说，"但我们摆弄了一阵之后，觉得它听起来没那么疯。"
接下来的几个月里，他们找到了实现的路径。他们的新算法不仅测量总体差异，还测量"相依性"（dependency）：如果随机扰动一个属性，其他属性之间的差异会变化多少？两人仍像 Bansal 以往的算法那样把半向量分给两组。但现在，当随机扰动这些分数使之归整为完整向量时，他们精心设计了算法来降低联合影响。"不知怎的，尽管表面上[这些属性]是相关的，但你可以在移动的同时不让它们真正互相干扰，"Bansal 说。
这让他们得以对每一步中差异如何演化施加更强的控制。最终，他们的算法保证：对于 N 个向量，差异最多为 log(N)^¼。
log(N)^¼ 有多小？N = 10 时它是 1；N = 10⁸¹——大约是可观测宇宙中的原子数——它是 3。
这是 Komlós 问题数十年来第一次被推进。"我以前倾向于认为，已知界限可能就是对的界限，我们要做的只是想办法证明无法做得更好，"多伦多大学的 Nikolov 说，"所以我确实很惊讶我们居然能好这么多。"
"log(N) 的四次方根非常小，"耶鲁大学的 Daniel Spielman 说。"这辈子你都不会遇到一个让 log(N)^¼ 超过 5 的数……对任何实际用途来说，它已经非常接近常数了。"
不负责任的进步
Bansal 和姜昊天的改进，再次确认了差异理论核心那个惊人而优雅的洞见：即使完美平衡不可能，接近平衡也是可行的，甚至是实用的。
差异理论的更多进展可能就在眼前。关键是，据匈牙利 Alfréd Rényi 数学研究所的 Rainie Heck 说，Bansal 和姜昊天的算法是高效的。这种效率意味着研究者可以用它去攻克差异理论的其他开放问题，以及优化理论、物理、金融等领域的问题。例如 Heck 自己就在研究如何用差异理论改进大语言模型和其他机器学习系统。
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而且最近的这次进展，可能会重新点燃对 Komlós 那个"不负责任"常数界限的追寻。Nikolov 和 Spielman 都表达了对猜想起真身的新信心。普适常数在数学问题里经常出现，√log(N) 也偶尔露面。四次方根就没那么常见了——这意味着这不会是最终的极限。"四次方根很少会是任何问题的正确答案，"Spielman 说。
Bansal 怀疑他从 2010 年起使用的算法策略不足以完成最后的冲刺。"我们在四分之一次方这里撞墙了，"他说。"要越过它肯定需要全新的东西。"
但这给了研究者们希望。"我确实认为，"Heck 说，"会有人证明它。"